Question

已知函数f（x）=

x2+c

ax+b

为奇函数，f（1）＜f（3），
且不等式0≤f（x）≤

3

2

的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．
（1）求a，b，c的值；
（2）是否存在实数m使不等式f（-2+sinθ）＜-m²+

3

2

对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）是奇函数求出b=0，再利用0≤f（x）≤

3

2

的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．得到c=-4．再由f（1）＜f（3）?a＞0利用不等式的解集有对应方程的根决定进而求出a．
（2）转化为求f（x）在[-3，-1]上的最大值，由（1）知，f（x）在（-∞，0）以及（0，+∞）上均为增函数故最大值为

3

2

，所以须有

3

2

＜

3

2

-m²?实数m不存在．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）对定义域内的一切x都成立，即b=0．
从而f（x）=

1

a

（x+

c

x

）．
又∵

f(2)≥0 f(-2)≥0

，即

f(2)≥0 -f(2)≥0

∴f（2）=0，解之，得c=-4．
再由f（1）＜f（3），得

a＞0 c＜3

或

a＜0 c＞3

从而a＞0．
此时f（x）=

1

a

（x-

4

x

）
在[2，4]上是增函数．
注意到f（2）=0，则必有f（4）=

3

2

，
∴

1

a

（4-

4

4

）=

3

2

，即a=2．
综上可知，a=2，b=0，c=-4．

（2）由（1），得f（x）=

1

2

（x-

4

x

），
该函数在（-∞，0）以及（0，+∞）上均为增函数．
又∵-3≤-2+sinθ≤-1，
∴f（-2+sinθ）的值域为[-

5

6

，

3

2

]．
符合题设的实数m应满足

3

2

-m²＞

3

2

，即m²＜0，
故符合题设的实数m不存在．

点评：本题考查了函数奇偶性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x都有f（-x）=-f（x）成立．