Question

已知圆C：x²+（y-2）²=25，直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明：无论m取什么实数，L与圆C恒交于两点．
（2）已知直线L与圆D：（x+1）²+（y-5）²=R²（R＞0）相切，且使R最大，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据直线方程得到直线过定点，证明定点在圆内部，即可证明：无论m取什么实数，L与圆C恒交于两点．
（2）根据直线与圆相切建立等式关系，根据条件确定当R最大时，对应的m的取值即可．

解答：解：（1）证明：∵（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
∴m（2x+y-7）+x+y-4=0，则直线L必过两直线2x+y-7=0与x+y-4=0的交点，
由

2x+y-7=0 x+y-4=0

 得

x=3 y=1

，
∴两直线2x+y-7=0与x+y-4=0的交点坐标为（3，1）．
又∵3²+（1-2）²＜25，
∴点（3，1）在圆C内部，
∴过点（3，1）的直线L必与圆C恒交于两点．
（2）∵圆心（-1，5）到直线L的距离最大时，直线L与圆D：（x+1）²+（y-5）²=R²（R＞0）相切，且R最大．
又直线L过定点（3，1），
∴当定点（3，1）为切点时，R最大．          
此时L与过点（3，1）（-1，5）的直线垂直，
L的斜率k=-

2m+1

m+1

=-

1

5-4 -1-3

=1，
∴m=-

2

3

．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及直线过定点问题，考查学生的运算能力．