Question

已知函数f(x)=

x2+c

ax+b

为奇函数，f（1）＜f（3），且不等式0≤f(x)≤

3

2

的解集是[-2，-1]∪[2，4]
（1）求a，b，c．
（2）是否存在实数m使不等式f(-2+sinθ)≤m2+

3

2

对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

x2+c

ax+b

为奇函数，则f（-x）=-f（x），构造方程可得b值，由不等式0≤f(x)≤

3

2

的解集是[-2，-1]∪[2，4]，根据±2均为不等式的解，可得c值，根据f（1）＜f（3），结合函数单调性，及不等式解集的端点是对应方程的根，求出a值．
（2）根据（1）中函数的单调性，结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在（-∞，0）上也是增函数，将不等式恒成立转化为函数的最值问题后，构造关于m的不等式，可得答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

x2+c

ax+b

为奇函数，
∴

(-x)2+c

a(-x)+b

=-

x2+c

ax+b

，解得b=0．…（1分）
不等式0≤f(x)≤

3

2

的解集中包含2和-2，
∴f（2）≥0，f（-2）=-f（2）≥0，
即得f(2)=0=

22+c

2a

，所以c=-4…（2分）
∵f(1)＜f(3)， f(1)=-

3

a

，f(3)=-

5

3a

，
∴-

3

a

＜

5

3a

， 所以a＞0．…（3分）
当a＞0时，在（0，+∞）上f(x)=

x2-4

ax

是增函数
在（0，+∞）内任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，那么f(x1)-f(x2)=

x1

a

-

4

ax1

-

x2

a

+

4

ax2

=

1

a

(x1-x2)(1+

4

x1x2

)＜0
即f(x1)＜f(x2)， ∴当a＞0时，在(0，+∞)上f(x)=

x2-4

ax

是增函数…（5分）f(2)=0， f(4)=

3

2

=

42-4

4a

，解得a=2．
综上所述：a=2， b=0， c=-4， f(x)=

x2-4

2x

…（6分）
（2）∵f(x)=

x2-4

2x

为奇函数，
∴f(x)=

x2-4

2x

在（-∞，0）上也是增函数．…（7分）
又-3≤-2+sinθ≤-1，
∴f(-3)≤f(-2+sinθ)≤f(-1)=

3

2

，
而m2+

3

2

≥

3

2

，
所以，m为任意实数时，不等式f(-2+sinθ)≤m2+

3

2

对一切θ∈R成立…（12分）

点评：本题是函数奇偶性，单调性，函数恒成立问题及不等式方程函数关系的综合应用，其中根据已知求出函数的解析式难度比较大，也是解答本题的关键．