Question

平面上有n条抛物线，其中每两条都只有两个交点，并且每三条都不相交于同一点，求证：这n条抛物线把平面分成f(n)＝＋1个部分．

Answer 1

答案：
解析：

证 (1)当n＝1时，抛物线把平面分成2个部分，又f(1)＝＋1＝2，∴n＝1时命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即满足条件的k条抛物线把平面分成f(k)＝＋1个部分，则当增加了满足条件的第k＋1条抛物线时，它与原k条抛物线共有2k个交点，这些交点把第k＋1条抛物线分成2k＋1段，每一段将原来的一个平面分成两块，所以共增加了2k＋1个平面块．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＋1＝＋1＋2k＋1＝＋1，∴n＝k＋1时命题成立．根据①，②可知，对任意n∈N命题成立．