Question

平面上有n(n≥2)条抛物线,其中每两条都相交于两点,并且每三条都不相交于同一点,试求这n条抛物线把平面分成多少个部分?

Answer 1

解:当n=2时,两条相交抛物线把平面分成5部分,记f(2)=5=2²+1;?

当n=3时,f(3)=10=3²+1;?

当n=4时,f(4)=17=4²+1;?

当n=5时,f(5)=26=5²+1;?

归纳猜想:f(n)=n²+1(n≥2).

设n条抛物线将平面分成f(n)个部分;有(n+1)条抛物线时,由于第n+1条抛物线与前n条抛物线共有2n个交点,这2n个交点将第n+1条抛物线共分成2n+1段,而每一段都把原来所在的部分分成了两部分,从而增加了2n+1个部分,?

∴f(n+1)=f(n)+2n+1(n≥2).?

∴f(3)=f(2)+5,?

f(4)=f(3)+7,?

f(5)=f(4)+9,?

……?

f(n)=f(n-1)+2n-1.?

∴f(n)=5+(5+7+9+…+2n-1)=n²+1.?

故满足题意的n条抛物线将平面分成n²+1个部分.