Question

平面上有n(n≥2)条抛物线，其中每两条都相交于两点，并且每三条都不相交于同一点，试求这n条抛物线把平面分成多少个部分？

Answer 1

答案：
解析：

解：当n＝2时，两条相交抛物线把平面分成5部分，记f(2)＝5＝22＋1； 　　当n＝3时，f(3)＝10＝32＋1； 　　当n＝4时，f(4)＝17＝42＋1； 　　当n＝5时，f(5)＝26＝52＋1； 　　归纳猜想：f(n)＝n2＋1(n≥2)． 　　设n条抛物线将平面分成f(n)个部分；有(n＋1)条抛物线时，由于第n＋1条抛物线与前n条抛物线共有2n个交点，这2n个交点将第n＋1条抛物线共分成2n＋1段，而每一段都把原来所在的部分分成了两部分，从而增加了2n＋1个部分， 　　∴f(n＋1)＝f(n)＋2n＋1(n≥2)． 　　∴f(3)＝f(2)＋5， 　　f(4)＝f(3)＋7， 　　f(5)＝f(4)＋9， 　　…… 　　f(n)＝f(n－1)＋2n－1． 　　∴f(n)＝5＋(5＋7＋9＋…＋2n－1)＝n2＋1． 　　故满足题意的n条抛物线将平面分成n2＋1个部分．