Question

已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，其中a₁＝b₁＝1，a₂≠b₂，且b₂为a₁，a₂的等差中项，a₂为b₂，b₃的等差中项．

(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)记c_n＝(a₁＋a₂＋…＋a_n)(b₁＋b₂＋…＋b_n)，求数列{c_n}的前n项和S_n.

Answer 1

解：(1)设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q.

由2b₂＝a₁＋a_2,2a₂＝b₂＋b₃，

得q＝1，d＝0或q＝2，d＝2，

又a₂≠b₂，所以q＝2，d＝2，

所以a_n＝2n－1，b_n＝2^n－1.

(2)由(1)，得

c_n＝·n²·(2ⁿ－1)＝n·2ⁿ－n，

所以S_n＝(1×2¹＋2×2²＋…＋n×2ⁿ)－(1＋2＋…＋n)．

令T_n＝1×2¹＋2×2²＋…＋n×2ⁿ，①

2T_n＝1×2²＋2×2³＋…＋n×2^n＋1，②

由②－①，得T_n＝(n－1)·2^n＋1＋2，

所以S_n＝(n－1)·2^n＋1－＋2.