Question

8．直线过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦点，斜率为2，若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线离心率e的取值范围是（　　）

• A． $e＞\sqrt{2}$
• B． $1＜e＜\sqrt{3}$
• C． $e＞\sqrt{5}$
• D． $1＜e＜\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围．

解答 解：依题意，斜率为2的直线l过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，
的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，
结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率$\frac{b}{a}$必大于2，
即$\frac{b}{a}$＞2，
因此该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$═$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$＞$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用直线的斜率，考查转化思想，是中档题．