Question

19．设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$，则数列{a_n}的通项公式为a_n=n-1007，则$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）=}$4034．

Answer 1

分析 令f″（x）=0得出f（x）的对称点，根据对称性和等差数列的性质得出结论．

解答 解：f′（x）=x²-4x+$\frac{8}{3}$，f″（x）=2x-4，
令f″（x）=0得x=2，又f（2）=2，
∴f（x）的对称中心为（2，2）．
∵a_n=n-1007，∴{a_n}是以-1006为首项，以1为公差的等差数列，
∴a₁+a₂₀₁₇=a₂+a₂₀₁₆=…=a₁₀₀₈+a₁₀₁₀=2a₁₀₀₉=4，
∴f（a₁）+f（a₂₀₁₇）=f（a₂）+f（a₂₀₁₆）=…=f（a₁₀₀₈）+f（a₁₀₁₀）=4，
∴$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）=}$f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₇）=1008×4+f（a₁₀₀₉）=4032+f（2）=4032+2=4034．
故答案为：4034．

点评 本题考查了函数的对称性，等差数列的性质，属于中档题．