Question

已知点集，其中=（2x-b，1），=（1，b+1），点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N^*．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；试写出S_n关于n的函数解析式；

Answer 1

【答案】分析：（I）首先运用向量数量积的运算得=（2x-b）+（b+1）=2x+1，然后再根据等差通项公式得a_n=a₁+（n-1）×1=n-1，最后在根据b_n=2a_n+1，得b_n=2n-1
（Ⅱ）此小问关键在于分类讨论（1）当n=2k时（2）当n=2k-1时然后根据等差求和公式即可
解答：解（Ⅰ）y=•=（2x-b）+（b+1）=2x+1
∵y=2x+1与y轴的交点P₁（a₁，b₁）为（0，1）
∴a₁=0；
∵等差数列{a_n}的公差为1
∴a_n=a₁+（n-1）×1，即a_n=n-1，
因为P_n（a_n，b_n）在y=2x+1上，所以b_n=2a_n+1，即b_n=2n-1
（Ⅱ）
由题意得：
即f（n）=

（1）当n=2k时，S_n=S_2k=a₁+b₂+a₃+b₄++a_2k-1+a_2k
=（a₁+a₃++a_2k-1）+（b₂+b₄++b_2k）
==3k²，
而，所以

（2）当n=2k-1时，S_n=S_2k-1=（a₁+a₃++a_2k-1）+（b₂+b₄++b_2k-2）
==3k²-4k+1，
而，所以
因此（k∈N^*）
点评：本题主要考查了数列与向量的综合，属于基础题