Question

已知向量，函数f（x）=，且最小正周期为4π．
（1）求ω的值；
（2）设，，求sin（α+β）的值．
（3）若x∈[-π，π]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据数量积的坐标公式，得，再用辅助角公式化简整理，得，再结合函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式，可得ω的值；
（2）根据（1）中f（x）的表达式，结合三角函数的诱导公式，算出、，再用两角和的正弦公式，即可算出sin（α+β）的值；
（3）当x∈[-π，π]时，∈（），利用换元法结合正弦函数的单调性，即可得到函数f（x）的值域．
解答：解：（1）由题意得：…（2分）
∵F（x）的最小正周期为4π，
∴，解得…（4分）
（2）由（1），知，
则
∴，结合，得…（6分）
同理
∴，结合，得…（8分）
所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=…（10分）
（3）当x∈[-π，π]时，，
令t=，则，
原函数可化为f（t）=2sint，…（11分）
当；                                           …（12分）
当…（13分）
所以，当x∈[-π，π]时，函数f（x）的值域为：…（14分）
点评：本题以向量数量积为载体，求解三角函数的图象与性质等问题，着重考查了三角恒等变换、平面向量的数量积和三角函数的值域与最值等知识，属于中档题．