Question

12．请用多种方法证明不等式：（用一种方法得8分，两种方法得14分，三种方法得16分．）
已知a，b∈（0，+∞），证明：$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$．

Answer 1

分析 方法一：利用基本不等式，即可证明结论．
方法二：利用分析法，即可证明结论．
方法三：利用作差法，即可证明结论．

解答 证明：方法一：$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\sqrt{b}$≥2$\sqrt{a}$，$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt{b}$，
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\sqrt{b}$+$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$，
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$．
方法二：要证明$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$，
只要证明$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\sqrt{b}$+$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$，
只要证明$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\sqrt{b}$≥2$\sqrt{a}$，$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt{b}$，显然成立，
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$．
方法三：$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$-$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$=$\frac{a-b}{\sqrt{b}}$+$\frac{b-a}{\sqrt{a}}$=$\frac{（a-b）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$≥0，
∴$\frac{a}{{\sqrt{b}}}$+$\frac{b}{{\sqrt{a}}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，比较基础．