题目内容
7．下列命题正确的个数为（ ）①若函数y=f（x）是定义在R上的增函数，且满足f（1）=0，f（a）+f（b）=f（a+b）-1，那么关于x的不等式f（x2-1）+f（1-x）＞0的解集为{x|x＜-1或x＞2}
②若函数f（x）=（a2-a-2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，则a=2；
③已知函数f（x）=x+a，g（x）=2x+1，若对任意的x1∈[-1，1]都存在x2∈[-1，1]，使得f（x1）=g（x2），则0≤a≤2
④已知函数f（x）=x+a，g（x）=2x+1，若存在x1，x2∈[-1，1]，使得f（x1）=g（x2），则-2≤a≤2．
| A． | 4 | B． | 3 | C． | 2 | D． | 1 |
分析 首先利用赋值法求出f（2）=1，再利用条件将不等式转化为f（x2-x）＞f（2），又因为f（x）是增函数，所以x2-x＞2，即可求出不等式的解集，故①正确；
由条件可知a2-a-2=0，解得a=-1，或2，通过检验可知a=2，故②正确；
首先分别求出f（x1）和f（x2）的值域为A和B，再将条件“对任意的x1∈[-1，1]都存在x2∈[-1，1]，使得f（x1）=g（x2）”转化为“A⊆B”即可求出a的取值范围为[0，2]，故③正确；
首先分别求出f（x1）和f（x2）的值域为A和B，再将条件“存在x1，x2∈[-1，1]，使得f（x1）=g（x2）”转化为“A∩B≠∅”即可求出a的取值范围为[-2，4]，故④错误．
解答 解：对于①：令a=b=1，则2f（1）=f（2）-1，得f（2）=1．
∵f（a）+f（b）=f（a+b）-1，∴f（x2-1）+f（1-x）=f（x2-x）-1=f（x2-x）-f（2），
∴f（x2-x）-f（2）＞0，即f（x2-x）＞f（2），又∵函数y=f（x）是定义在R上的增函数，
∴x2-x＞2，即x2-x-2＞0，解得x＜-1，或x＞2．
故①正确；
对于②：∵函数f（x）=（a2-a-2）x2+（a+1）x+2的定义域和值域都为R，
∴a2-a-2=0，解得a=-1，或2．
当a=-1时，f（x）=2，此时定义域为R，值域为{2}，不符合条件；
当a=2时，f（x）=3x+2，此时定义域和值域都为R，符合条件．
故②正确；
对于③：当x1∈[-1，1]时，x1+a∈[a-1，a+1]，
当x2∈[-1，1]时，2x2+1∈[-1，3]，
∵对任意的x1∈[-1，1]都存在x2∈[-1，1]，使得f（x1）=g（x2），
∴[a-1，a+1]⊆[-1，3]
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≤3}\\{a-1≥-1}\end{array}\right.$，得0≤a≤2．
故③正确；
对于④：当x1∈[-1，1]时，x1+a∈[a-1，a+1]，
当x2∈[-1，1]时，2x2+1∈[-1，3]，
∵存在x1，x2∈[-1，1]，使得f（x1）=g（x2），
∴[a-1，a+1]∩[-1，3]≠∅
若[a-1，a+1]∩[-1，3]=∅，则a+1＜-1，或a-1＞3，得a＜-2，或a＞4
∴-2≤a≤4．
故④错误．
故答案为：B
点评 本题通过命题的真假判断考查了利用抽象函数的性质解不等式，以及函数的定义域与值域，同时还考查了赋值法和转化法等数学解题方法，有一定难度，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | -1-i | B． | 1-i | C． | 1+i | D． | -1+i |
| A． | y=f（x）的图象关于$x=\frac{π}{2}$对称 | B． | y=f（x）的图象关于$（{\frac{π}{2}，0}）$对称 | ||
| C． | y=f（x）的图象关于y轴对称 | D． | y=f（x）不是周期函数 |
