Question

已知定义在R上的函数满足f（1）=5，且f（x）的导函数f′（x）＜2x+3，则不等式f（x）＜x²+3x+1的解集为（　　）

• A、{x|-1＜x＜1}
• B、{x|x＜1}
• C、{x|x＞1}
• D、{x|x＜-1或x＞1}

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件构造函数g（x）=f（x）-（x²+3x+1），求出函数g（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：设g（x）=f（x）-（x²+3x+1），
则函数的导数g′（x）=f′（x）-2x-3，
∵f′（x）＜2x+3，
∴g′（x）=f′（x）-2x-3＜0，
即函数g（x）为减函数，
则g（1）=f（1）-5=5-5=0，
即不等式f（x）＜x²+3x+1等价为g（x）＜0，
即等价为g（x）＜g（1），
解得x＞1，
故不等式的解集为{x|x＞1}，
故选：C

点评：本题主要考查不等式的求解，根据条件，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．