Question

求证：

1

2

+cosα+cos2α+cos3α+…+cosnα=

cosnα-cos(n+1)α

2(1-cosα)

．n∈N．

Answer 1

分析：观察等式的特征，直接利用三角函数的恒等变换，不易解答，可以考虑数学归纳法证明．

解答：证明：（1）当n=0时等式成立；
          当n=1时，左边=

1

2

+cosα，右边=

cosα-cos2α

2(1-cosα)

=

(1-cosα)(1+2cosα)

2(1-cosα)

=

1

2

+cosα，即左边=右边；
     （2）假设n=k时，等式成立，即

1

2

+cosα+cos2α+cos3α+…+coskα=

coskα-cos(k+1)α

2(1-cosα)

成立；
          那么n=k+1时

1

2

+cosα+cos2α+cos3α+…+coskα+cos(k+1)α=

coskα-cos(k+1)α

2(1-cosα)

+cos(k+1)α
=

coskα-cos(k+1)α+2cos(k+1)α-2cosαcos(k+1)α

2(1-cosα)

=

coskα+cos(k+1)α-2cosαcos(k+1)α

2(1-cosα)

=

coskα+cos(k+1)α-cos(k+2)α-coskα

2(1-cosα)

=

cos(k+1)α-cos[(k+1)+1]α

2(1-cosα)

，
      这就是说n=k+1时命题也成立；
      对于任意的n等式恒成立．

点评：本题是中档题，考查数学归纳法证明三角恒等式的问题，注意这是关于n∈N的命题，证明中必须用上假设，考查计算能力，灵活证明问题的灵活性．