Question

已知tanx=

4

3

，π＜x＜

3

2

π．
（1）若tany=

1

2

，求证：cos（x-y）=2sin（x-y）；
（2）求cos

x

2

-sin

x

2

的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角差的正切公式，化简出

sin(x-y)

cos(x-y)

=

1

2

，从而证明出结论．
（2）通过已知条件求出sinx，然后求cos

x

2

-sin

x

2

的平方的值，根据角的范围求出cos

x

2

-sin

x

2

的值即可．

解答：解：（1）由tanx=

4

3

，得tan(x-y)=

4 3 - 1 2

1+ 4 3 × 1 2

=

1

2

，即

sin(x-y)

cos(x-y)

=

1

2

，（4分）
所以cos（x-y）=2sin（x-y）．（6分）
（2）由tanx=

4

3

得

sinx

cosx

=

4

3

，
于是9sin²x=16cos²x，sin2x=

16

25

．
又π＜x＜

3

2

π．故sinx＜0，
所以sinx=-

4

5

．（10分）
(cos

x

2

-sin

x

2

)2=1-sinx=

9

5

（12分）
又π＜x＜

3

2

π.

π

2

＜

x

2

＜

3

4

π，cos

x

2

-sin

x

2

＜0，
于是cos

x

2

-sin

x

2

=-

3 5

5

．（14分）

点评：本题考查弦切互化，两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数，考查公式的灵活应用能力，以及公式的变形运算能力．