题目内容
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
（n∈N*）．
（1）求a1的值及数列{an}的通项公式；
（2）求证：
+
+
+…+
＜
（n∈N*）；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1-
）（1-
）…（1-
）cos
＜
对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
| an(an+2) |
| 4 |
（1）求a1的值及数列{an}的通项公式；
（2）求证：
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 1 | ||
|
| 5 |
| 32 |
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1-
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
| πan+1 |
| 2 |
| 1 | ||
|
分析：（1）利用当n=1时，a1=S1=
，求a1的值，根据当n≥2时，an=Sn-Sn-1，可求数列{an}的通项公式；
（2）证法一、二：先放缩，再裂项求和，即可证得结论；
（3）求出数列{bn}的通项，证明其单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，分类讨论求最值，即可求出λ的值．
| a1(a1+2) |
| 4 |
（2）证法一、二：先放缩，再裂项求和，即可证得结论；
（3）求出数列{bn}的通项，证明其单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，分类讨论求最值，即可求出λ的值．
解答：（1）解：由Sn=
．
当n=1时，a1=S1=
，解得a1=2或a1=0（舍去）． …2分
当n≥2时，由an=Sn-Sn-1=
-
∴an2-an-12=2(an+an-1)，
∵an＞0，∴an+an-1≠0，则an-an-1=2，
∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an=2n． …4分
（2）证法一：∵
=
=
＜
=
=
[
-
](n≥2)，…4分
∴当n≥2时，
+
+
+…+
=
+
+
+…+
＜
+
[(
-
)+(
-
)+…+
-
]=
+
[
-
]＜
+
×
=
．…7分
当n=1时，不等式左边=
=
＜
显然成立．…8分
证法二：∵n3-4n（n-1）=n（n2-4n+4）=n（n-2）2≥0，∴n3≥4n（n-1）．
∴
=
=
≤
=
(
-
)（n≥2）．…4分
∴当n≥2时，
+
+
+…+
=
+
+
+…+
≤
+
[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]=
+
(1-
)＜
+
=
．…7分
当n=1时，不等式左边=
=
＜
显然成立．…8分
（3）解：由an=2n，得cos
=cos(n+1)π=(-1)n+1，
设bn=
，则不等式等价于.
=
=
=
=
＞1，…9分
∵bn＞0，∴bn+1＞bn，数列{bn}单调递增．…10分
假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，则
①当n为奇数时，得λ＜(bn)min=b1=
； …11分
②当n为偶数时，得-λ＜(bn)min=b2=
，即λ＞-
．…12分
综上，λ∈(-
，
)，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．…14分
| an(an+2) |
| 4 |
当n=1时，a1=S1=
| a1(a1+2) |
| 4 |
当n≥2时，由an=Sn-Sn-1=
| an(an+2) |
| 4 |
| an-1(an-1+2) |
| 4 |
∴an2-an-12=2(an+an-1)，
∵an＞0，∴an+an-1≠0，则an-an-1=2，
∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an=2n． …4分
（2）证法一：∵
| 1 |
| an3 |
| 1 |
| (2n)3 |
| 1 |
| 8n•n2 |
| 1 |
| 8n(n2-1) |
| 1 |
| 8(n-1)n(n+1) |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| (n-1)n |
| 1 |
| n(n+1) |
∴当n≥2时，
| 1 |
| a13 |
| 1 |
| a23 |
| 1 |
| a33 |
| 1 |
| an3 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 43 |
| 1 |
| 63 |
| 1 |
| (2n)3 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| (n-1)n |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 32 |
当n=1时，不等式左边=
| 1 |
| a13 |
| 1 |
| 8 |
| 5 |
| 32 |
证法二：∵n3-4n（n-1）=n（n2-4n+4）=n（n-2）2≥0，∴n3≥4n（n-1）．
∴
| 1 |
| an3 |
| 1 |
| (2n)3 |
| 1 |
| 8n3 |
| 1 |
| 32n(n-1) |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
∴当n≥2时，
| 1 |
| a13 |
| 1 |
| a23 |
| 1 |
| a33 |
| 1 |
| an3 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 43 |
| 1 |
| 63 |
| 1 |
| (2n)3 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 32 |
| 5 |
| 32 |
当n=1时，不等式左边=
| 1 |
| a13 |
| 1 |
| 8 |
| 5 |
| 32 |
（3）解：由an=2n，得cos
| πan+1 |
| 2 |
设bn=
| 1 | ||||||||
(1-
|
| bn+1 |
| bn |
| ||||
(1-
|
| ||||
(1-
|
| 2n+2 | ||
|
| ||
|
∵bn＞0，∴bn+1＞bn，数列{bn}单调递增．…10分
假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，则
①当n为奇数时，得λ＜(bn)min=b1=
2
| ||
| 3 |
②当n为偶数时，得-λ＜(bn)min=b2=
8
| ||
| 15 |
8
| ||
| 15 |
综上，λ∈(-
8
| ||
| 18 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确放缩，合理运用求和公式是关键．
练习册系列答案
相关题目