题目内容

证明函数f(x)=
3x-2
在区间（-∞，2）上是减函数．
分析：设x1、x2∈（-∞，2），且x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差，通分分解得
3(x2-x1)
(x1-2)(x2-2)
，再讨论各因式的正负，可得f（x1）＞f（x2），从而使函数的单调性等到证明．
解答：解：设x1、x2∈（-∞，2），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
3
x1-2
-
3
x2-2
=
3(x2-x1)
(x1-2)(x2-2)

∵x1、x2∈（-∞，2），∴x1-2＜0，x2-2＜0
又∵x1＜x2，
∴3（x2-x1）＞0，可得
3(x2-x1)
(x1-2)(x2-2)
＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，得f（x1）＞f（x2）
因此，函数f(x)=
3
x-2
在区间（-∞，2）上是减函数．
点评：本题通过证明一个分式函数的单调性，考查了函数单调性的判断与证明的知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
证明函数f(x)=
2x-5
x
2
 
+1
在区间（2，3）上至少有一个零点．
用定义法证明函数f(x)=x+
9x
在区间[3，+∞）上为增函数．
①证明函数f(x)=
2x2-1
在区间[2，+∞）是增函数．
②证明函数f(x)=
2x+7
x+3
在区间（-3，+∞）上是减函数．
（Ⅰ）用定义证明函数f(x)=x+
4x
在[2，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）用（Ⅰ）的结论求y=f（2x）（x∈[0，3]）的最值及相应的x的值．
探究f(x)=x+
1
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定相应的x的值，类表如下：
x
…
1
4
1
3
1
2
 1 2 3 4
…
y
…
17
4
10
3
5
2
 2
5
2
10
3
17
4
…
请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列的问题：
（1）若x1x2=1，则f（x1）
 
f（x2）（请 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函数f(x)=x+
1
x
，(x＞0)在区间（0，1）上单调递减，则在区间
 
上单调递增．
（2）当x=
 
时，f(x)=x+
1
x
，(x＞0)的最小值为
 
．
（3）证明函数f(x)=x+
1
x
在区间（1，+∞）上为单调增函数．

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