Question

①证明函数f(x)=

2x2-1

在区间[2，+∞）是增函数．
②证明函数f(x)=

2x+7

x+3

在区间（-3，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：①由于二次函数 t=2 x²-1 在区间[2，+∞）是增函数，且t≥7，故函数f(x)=

2x2-1

在区间[2，+∞）是增函数．
②由于 f(x)=

2x+7

x+3

=2+

1

x+3

，设 x₂＞x₁＞-3，可得f（x₂）-f（x₁）=

x1-x2

(x1+3)(x2+3)

＜0，从而函数f(x)=

2x+7

x+3

在区间（-3，+∞）上是减函数．

解答：解：①证明：由于当x≥2时，令 t=2x²-1，则 t≥7，∴f(x)=

2x2-1

=

t

≥

7

．
由于二次函数 t=2 x²-1 在区间[2，+∞）是增函数，且t≥7，故函数f(x)=

2x2-1

在区间[2，+∞）是增函数．
②∵f(x)=

2x+7

x+3

=2+

1

x+3

，设 x₂＞x₁＞-3，可得f（x₂）-f（x₁）=2+

1

x2+3

-（2+

1

x1+3

）
=

x1-x2

(x1+3)(x2+3)

＜0，
故函数f(x)=

2x+7

x+3

在区间（-3，+∞）上是减函数．

点评：本题主要考查证明函数的单调性的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．