Question

已知函数，．已知函数有两个零点，且．
（1）求的取值范围；
（2）证明随着的减小而增大；
（3）证明随着的减小而增大．

Answer 1

（1）的取值范围是；（2）详见试题分析；（3）详见试题分析．

解析试题分析：（1）先求函数的导数，再分和讨论的单调性，将“函数有两个零点”等价转化为如下条件同时成立：“1°；2°存在，满足；3°存在，满足”，解相应的不等式即可求得的取值范围；（2）由分离出参数：．利用导数讨论的单调性即可得： ，从而；类似可得．又由，得，最终证得随着的减小而增大；（3）由，，可得，，作差得．设，则，且解得，，可求得，构造函数，利用导数来证明随着的减小而增大．
（1）由，可得．下面分两种情况讨论：
（1）时，在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意．
（2）时，由，得．当变化时，，的变化情况如下表：

	＋	0	－
	↗