Question

已知△ABC的面积S=

3

4

(b2+c2-a2)，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理列出关系式，分别代入已知等式中变形求出tanA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）由题意求出B的范围，得出B+

π

6

的范围，根据A度数求出B+C的度数，用B表示出C，代入所求式子中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的定义域与值域即可确定出范围．

解答：解：（Ⅰ）∵S=

3

4

（b²+c²-a²），S=

1

2

bcsinA，a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-a²=2bccosA，
∴

1

2

bcsinA=

3

4

•2bccosA，即sinA=

3

cosA，
∴tanA=

3

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由题知：B∈（0，

2π

3

），
∴B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sinB+sinC=sinB+sin（

2π

3

-B）=sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

sin（B+

π

6

），
∵sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
则sinB+sinC的取值范围是（

3

2

，

3

]．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．