Question

3．已知函数f（x）=ln$\frac{ex}{e-x}，若f（\frac{e}{2013}）+f（\frac{2e}{2013}）+…+f（\frac{2012e}{2013}）=503（a+b），则{a^2}+{b^2}$的最小值为8．

Answer 1

分析 求出f（x）+f（e-x）的值，然后利用已知条件列出关系式，通过基本不等式求出表达式的最小值．

解答 解：函数f（x）=ln$\frac{ex}{e-x}$，
f（x）+f（e-x）=$ln\frac{ex}{e-x}+ln\frac{e（e-x）}{e-（e-x）}$=$ln\frac{ex}{e-x}+ln\frac{e（e-x）}{x}$=1+1+$ln\frac{x}{e-x}+ln\frac{e-x}{x}$=2.$f（\frac{e}{2013}）+f（\frac{2e}{2013}）+…+f（\frac{2012e}{2013}）=503（a+b）$，
即：2012=503（a+b），
可得a+b=4．
∵a²+b²≥$\frac{（a+b）^{2}}{2}$=8．
当且仅当a=b=2时取等号．
a²+b²的最小值为：8．
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式求解表达式的最值，函数值的求法，推出f（x）+f（e-x）=2是解题的关键．