Question

【题目】在四棱锥中，，，和都是边长为2的等边三角形，设在底面的射影为.

（1）求证：是中点；

（2）证明：；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】试题分析:（1）根据等边三角形有，依题意有平面，故，由此可知为中点.（2）由平面可得，而，即，故平面，故.（3）以分别为轴建立空间直角坐标系，利用法向量计算二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：∵和都是等边三角形，

∴，

又∵底面，

∴，

则点为的外心，又因为是直角三角形，

∴点为中点.

（2）证明：由（1）知，点在底面的射影为点，点为中点，

于是面，

∴，

∵在中，，，

∴，

又，∴，

从而即，

由，得面，

∴.

（3）以点为原点，以所在射线为轴 ，轴，轴建系如图，

∵，则，，，，

，，，，，

设面的法向量为，则

，，得，，

取，得，，

故.

设面的法向量为，则

，，得，，

取，则，故，

于是，

由图观察知为钝二面角，

所以该二面角的余弦值为.