Question

已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA₁和CC₁的中点，G是A₁C₁的中点，求

(1) 点G到平面BFD₁E的距离；

(2) 四棱锥A₁－BFD₁E的体积．

 

Answer 1

答案：
解析：

． ∴ 四边形BFD1E是菱形．连结EF、BD1， 则A1C1∥EF． 设H是EF的中点，连结GH、GD1，则EF⊥GH，EF⊥HD1， ∴ EF⊥平面GHD1，EF平面BFD1E， ∴ 平面BFD1E⊥平面GHD1，作GK⊥HD1于K， 则GK⊥平面BFD1E，GK就是点G到平面BFD1E的距离， ∵ 正方体对角面A1ACC1⊥底面A1B1C1D1， ∴ ∠HGD1=90°． 在Rt△HGD1中，，，， ∴ ， 点G到平面BFD1E的距离是． (2) 解法1：∵ A1C1∥EF， ∴ A1C1∥平面BFD1E，G∈A1C1， ∴ 点G到平面BFD1E的距离就是四棱锥A1－BFD1E的高． ∴ 解法2：∵ ， ∴ 四棱锥A1－BFD1E底面是菱形，连结EF，则△EFB≌△EFD1． ∵ 三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高， ∴ ， ∴ ， 又， ∴ ． ∵ CC1∥平面AA1B1B， ∴ 三棱锥F－EA1B的高就是CC1到平面AA1B1B的距离，即棱长a． 又△EA1B的边EA1的高为a ∴ ．