Question

在下列命题中：
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈（，），则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜；
③若f（x）=2cos²-1，则f（x+π）=f（x）对x∈R恒成立；
④对于任意实数a，要使函数y=5cos（πx-）（k∈N^*）在区间[a，a+3]上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k可以取2和3．       
其中真命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：①由偶函数对称区间上的单调性相反可知，函数在[0，1]上单调递减，结合θ∈（，）时，可判断sinθ与cosθ的大小，进而可比较
②由锐角α、β满足cosα＞sinβ=cos（），可判断
③f（x）=2cos²-1=cosx，函数的周期为T=2π，可判断
④由于函数y=5cos（πx-）在一个周期内函数值出现两次，若满在区间[a，a+3]上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则用检验当k=2，3时函数的周期即可判断
解答：解：①由偶函数对称区间上的单调性相反可知，函数在[0，1]上单调递减，又θ∈（，）时，1＞sinθ＞cosθ＞0，则f（sinθ）∠f（cosθ）；故①错误
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ=cos（），则，则α+β＜；②正确
③f（x）=2cos²-1=cosx，函数的周期为T=2π，则f（x+π）=f（x）对x∈R恒成立；③错误
④由于函数y=5cos（πx-）在一个周期内函数值出现两次，若满在区间[a，a+3]上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则
当k=2时，周期T=，则函数y=5cos（πx-）在区间[a，a+3]内函数值出现6次，满足题意     
当k=3时，周期T=，则函数y=5cos（πx-）在区间[a，a+3]内函数值出现最大出现8次，满足题意；故④正确
故答案为：②④
点评：本题综合考查了偶函数的对称区间上的单调性的应用，三角函数的诱导公式的应用，函数的周期公式的应用及二倍角公式、余弦函数的性质等函数知识的综合应用