题目内容

下列命题中：①函数，f（x）=sinx+
2
sinx
（x∈（0，π））的最小值是2
2
；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a + b＞c则
a
1+a
+
b
1+b
＞
c
1+c
；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（　　）
A、①②③④B、①④
C、②③④D、②③
分析：根据基本不等式和三角函数的有界性可知真假，利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=
π
2
或A=B，则三角形形状可判断出．构造函数y=
x
1+x
，根据函数的单调性可证得结论；由函数极值点与导数的关系，我们易判断对错．
解答：解：①f（x）=sinx+
2
sinx
≥2
2
，当sinx=
2
时取等号，而sinx的最大值是1，故不正确；
②∵sin2A=sin2B∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0
∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0∴A+B=
π
2
或A=B
∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故正确；
③可构造函数y=
x
1+x
，该函数在（0．+∞）上单调递增，a+b＞c则
a
1+a
+
b
1+b
＞
c
1+c
，故正确；
④∵f（x）是定义在R上的可导函数，
当f′（x0）=0时，x0可能f（x）极值点，也可能不是f（x）极值点，
当x0为f（x）极值点时，f′（x0）=0一定成立，
故f′（x0）=0是x0为f（x）极值点的必要不充分条件，故④正确；
故选C．
点评：考查学生会利用基本不等式解题，注意等号成立的条件，同时考查了极值的有关问题，属于综合题．
练习册系列答案
相关题目
下列命题中：
①函数f（x）=sinx+
2
sinx
（x∈（0，π））的最小值是2
2
；
②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形：
③如果正实数a，b，c满足a+b＞c，则
a
1+a
+
b
1+b
＞
c
1+c
；其中正确的命题是（　　）
A、①②③B、①C、②③D、③
下列命题中：
①函数f(x)=x+
2
x
(x∈(0，1))的最小值是2
2
；
②对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）；
③如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件；
④已知存在实数x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a成立，则实数a的取值范围是a≥2．
其中正确的命题是
②③
②③
．
下列命题中：
①函数f（x）=ln（x+l）-
2
x
在区间（1，2）有零点；
③己知当x∈（0，+∞）时，幕函数y=（m2-m-1）•x-5m-3为减函数，则实数m=2；
③若|a|=2|b|≠0，函数f（x）=
1
3
x3+
1
2
|a|x2+a•b在R上有极值，则向量a．与b的夹角范围为[
π
3
，π]；
④已知函数f（x）=lg（x2-2x+a）的值域是R，则a＞1．
其中正确命题的序号为
①②
①②
．

下列命题中：①函数的最小值是；②对于任意实数，有且时，， ，则时，；③如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件；④已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是。其中正确的命题是___________.

 

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