题目内容

在下列命题中：
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈（
π
4
，
π
2
），则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜
π
2
；
③若f（x）=2cos2
x
2
-1，则f（x+π）=f（x）对x∈R恒成立；
④对于任意实数a，要使函数y=5cos（
2k+1
3
πx-
π
6
）（k∈N*）在区间[a，a+3]上的值
5
4
出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k可以取2和3．       
其中真命题的序号是
②④
②④
．
分析：①由偶函数对称区间上的单调性相反可知，函数在[0，1]上单调递减，结合θ∈（
π
4
，
π
2
）时，可判断sinθ与cosθ的大小，进而可比较
②由锐角α、β满足cosα＞sinβ=cos（
π
2
-β），可判断
③f（x）=2cos2
x
2
-1=cosx，函数的周期为T=2π，可判断
④由于函数y=5cos（
2k+1
3
πx-
π
6
）在一个周期内函数值
5
4
出现两次，若满在区间[a，a+3]上的值
5
4
出现的次数不小于4次，又不多于8次，则用检验当k=2，3时函数的周期即可判断
解答：解：①由偶函数对称区间上的单调性相反可知，函数在[0，1]上单调递减，又θ∈（
π
4
，
π
2
）时，1＞sinθ＞cosθ＞0，则f（sinθ）∠f（cosθ）；故①错误
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ=cos（
π
2
-β），则α＜
π
2
-β，则α+β＜
π
2
；②正确
③f（x）=2cos2
x
2
-1=cosx，函数的周期为T=2π，则f（x+π）=f（x）对x∈R恒成立；③错误
④由于函数y=5cos（
2k+1
3
πx-
π
6
）在一个周期内函数值
5
4
出现两次，若满在区间[a，a+3]上的值
5
4
出现的次数不小于4次，又不多于8次，则
3T
2
≤3
7T
2
≥3

当k=2时，周期T=
6
5
，则函数y=5cos（
2k+1
3
πx-
π
6
）在区间[a，a+3]内函数值
5
4
出现6次，满足题意     
当k=3时，周期T=
6
7
，则函数y=5cos（
2k+1
3
πx-
π
6
）在区间[a，a+3]内函数值
5
4
出现最大出现8次，满足题意；故④正确
故答案为：②④
点评：本题综合考查了偶函数的对称区间上的单调性的应用，三角函数的诱导公式的应用，函数的周期公式的应用及二倍角公式、余弦函数的性质等函数知识的综合应用
练习册系列答案
相关题目
下列命题中：①函数，f（x）=sinx+
2
sinx
（x∈（0，π））的最小值是2
2
；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a + b＞c则
a
1+a
+
b
1+b
＞
c
1+c
；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（　　）
A、①②③④B、①④
C、②③④D、②③
在下列命题中：①已知两条不同直线m、n两上不同平面α，β，m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②函数y=sin（2x-
π
6
）图象的一个对称中心为点（
π
3
，0）；③若函数f（x）在R上满足f（x+1）=
1
f(x)
，则f（x）是周期为2的函数；④在△ABC中，若
OA
+
OB
=2
CO
，则S△ABC=S△BOC其中正确命题的序号为
 
．
在下列命题中，所有正确命题的序号是
②③
②③
．
①命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x∈R，x2-x＜0”；
②若p是q的充分不必要条件，则?p是?q的必要不充分条件；
③函数f（x）=lg（x2+x+a）的值域为R的充要条件是a≤
1
4
；
④若函数f(x)=
2x-a
x-1
在（1，+∞）内为增函数，则a＜2．
在下列命题中，正确的有
1
1
个．
（1）函数y=tanx在定义域内是增函数；
（2）存在α∈R，使函数f（x）=cos（x+α）是奇函数；
（3）y=tanx的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；
（4）若
a
∥
b
且
b
∥
c
，则必有
a
∥
c
；
（5）函数f(x)=|sin(x+
π
3
)|在(
π
3
，
5π
6
)上是减函数．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网