Question

已知直线l：

x=1+3t y=-1-4t

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ+

π

4

)．
（1）将曲线C的方程化成直角坐标方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）利用极坐标与直角坐标的化公式即可得出；
（2）利用点到直线的距离公式和弦长公式l=2

r2-d2

即可得出．

解答：解：（1）把ρ=

2

cos(θ+

π

4

)展开得ρ=

2

(

2

2

cosθ-

2

2

sinθ)，化为ρ=cosθ-sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ，
∴x²+y²=x-y，
即x²+y²-x+y=0，
（2）把

x=1+3t y=-1-4t

消去t化为普通方程为4x+3y-1=0，
由圆的方程(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，可得圆心C(

1

2

，-

1

2

)，半径r=

2

2

．
∴圆心到直线的距离d=

|4× 1 2 +3×(- 1 2 )-1|

32+42

=

1

10

，
∴弦长为═2

r2-d2

=2

1 2 - 1 100

=

7

5

．

点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的化公式、点到直线的距离公式和弦长公式l=2

r2-d2

是解题的关键．