Question

（2013•南京二模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：

x=1- 5 5 t y=-1+ 2 5 5 t

（t为参数）和曲线C：

x=1+t y=1+t2

（t为参数）．若P是曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析：分别化直线l和曲线C的参数方程为普通方程，联立方程组后方程组无解可知直线和曲线相离，由导数求出和直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点，再由点到直线的距离公式求解．

解答：解：由直线l：

x=1- 5 5 t y=-1+ 2 5 5 t

，得直线l的普通方程为2x+y-1=0，
由曲线C：

x=1+t y=1+t2

，得曲线C的普通方程为y=x²-2x+2．
∵方程组

2x+y-1=0 y=x2-2x+2

无解，∴直线l和曲线C没有公共点．
由y=x²-2x+2，得y′=2x-2，再令2x-2=-2，得x=0，代入曲线y=x²-2x+2，得y=2．
∴当点P为（0，2）时，它到直线l的距离最小，最小距离为

|2-1|

5

=

5

5

．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想方法，是基础题．