Question

已知直线l：

x=1+t y=-t

（t为参数）与圆C：

x=2cosθ y=m+2sinθ

（θ为参数）相交于A，B两点，m为常数．
（1）当m=0时，求线段AB的长；
（2）当圆C上恰有三点到直线的距离为1时，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先把参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式、弦长|AB|=2

r2-d2

即可得出；
（2）圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件?圆心C到直线l的距离=1．

解答：解：（1）由直线l：

x=1+t y=-t

（t为参数）消去参数化为普通方程l：x+y-1=0；
当m=0时，圆C：

x=2cosθ y=m+2sinθ

（θ为参数）消去参数θ得到曲线C：x²+y²=4，圆心C（0，0），半径r=2．
∴圆心C到直线l的距离为  d=

1

2

，
∴|AB|=2

r2-d2

=

14

．
（2）由（1）可知：x+y-1=0，
又把圆C的参数方程的参数θ消去可得：x²+（y-m）²=4，∴圆心C（0，m），半径r=2．
只要圆心C到直线l的距离=1即可满足：圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件．
由d=

|m-1|

2

=1，解得m-1=±

2

，
∴m=1+

2

或m=1-

2

．

点评：熟练把参数方程化为普通方程、掌握点到直线的距离公式、弦长|AB|=2

r2-d2

及正确把问题等价转化是解题的关键．