Question

已知直线l：

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t为参数）与曲线C的极坐标方程：ρ=

2

cos(θ+

π

4

)．
（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程（极点与坐标原点重合，极轴与x轴重合）
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）将参数方程消去参数t得直线l普通方程，依据极坐标方程和直角坐标方程的互化公式，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）求出圆心和半径，由点到直线距离公式得圆心到直线距离，再由弦长公式求得弦长．

解答：解：（1）将方程

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

消去t得直线l普通方程3x+4y+1=0…（2分）．
把 ρ=

2

cos(θ+

π

4

)化为  ρ2=

2

ρ(cosθ•

2

2

-sinθ•

2

2

)…（4分），
得曲线C的直角坐标方程：x²+y²-x+y=0． …（6分）
（2）曲线C的圆心C(

1

2

，-

1

2

)，半径为

2

2

，…（8分）
由点到直线距离公式得圆心到直线距离：d=

|3× 1 2 +4×(- 1 2 )+1|

32+42

=

1

10

，…（10分）
则弦长=2

r2-d2

=

1 2 - 1 100

=

7

5

． …（12分）

点评：本题考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出圆心和半径，
是解题的突破口．