Question

2．已知三点A（2，3），B（-1，-1），C（6，k），其中k为常数．若|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值为0或-$\frac{24}{25}$，．

Answer 1

分析 根据向量长度相等建立方程关系求出k的值，结合向量夹角公式进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=（-3，-4），$\overrightarrow{AC}$=（4，k-3），
则|$\overrightarrow{AB}$|=5，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{16+（k-3）^{2}}$，
由|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|得$\sqrt{16+（k-3）^{2}}$=5，
得（k-3）²=9，则k-3=3或k-3=-3，
即k=6或k=0，
若k=6，则C（6，6），$\overrightarrow{AC}$=（4，3），
则cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-3×4-4×3}{5×5}$=-$\frac{24}{25}$，
若k=0，则C（6，-1），$\overrightarrow{AC}$=（4，-3），
则cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-3×4-4×（-3）}{5×5}$=0，
故答案为：0或-$\frac{24}{25}$，

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量长度公式以及夹角公式是解决本题的关键．注意要对k进行分类讨论．