如图四边形ABCD是正方形.延长CD至E.使得DE=CD．若动点P从点A出发.沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点.其中$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$.下列五个命题中正确的是①②①点P与点B重合时.λ+μ=1,②当点P为BC的中点时.λ+μ=2,③λ+μ的最大值为4, ④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，下列五个命题中正确的是①②
①点P与点B重合时，λ+μ=1；
②当点P为BC的中点时，λ+μ=2；
③λ+μ的最大值为4；
④λ+μ的最小值为-1；
⑤满足λ+μ=1的点P有且只有一个．

分析建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$的坐标表示，再根据相对应的条件加以判断即可．

解答解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，
则B（1，0），E（-1，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，1），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$=（λ-μ，μ），
∴点P与点B重合时，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$，
此时λ=1，μ=0，λ+μ=1，①正确；
∴P是BC的中点时，$\overrightarrow{AP}$=（1，$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，
此时λ=$\frac{3}{2}$，μ=$\frac{1}{2}$，λ+μ=2，②正确；
当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
综上，0≤λ+μ≤3，③λ+μ的最大值为4，错误；
④λ+μ的最小值为-1，错误；
当点P为AD中点时，$\overrightarrow{AP}$=（0，$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，
此时λ=μ=$\frac{1}{2}$，λ+μ=1，结合①知，满足λ+μ=1的点P不唯一，⑤错误．
综上，正确的命题是①②．
故答案：①②．

点评本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，是综合性题目．

练习册系列答案

学业测评一卷通小学升学试题汇编系列答案

1．已知等比数列{a_n}满足：a₂+a₃=3，a₃+a₄=6，那么$\sqrt{{a_4}•{a_{12}}}$=（　　）

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且$\frac{cosA}{a}$+$\frac{cosB}{b}$=$\frac{sinC}{c}$，b²+c²-a²=$\frac{6}{5}$bc，则tanB=（　　）

5．在（x²-x+2y）⁵的展开式中，x⁴y²的系数为（　　）

15．已知△ABC中，a=$\sqrt{13}$，∠A=60°，S_△=3$\sqrt{3}$，求b、c的值．

2．已知三点A（2，3），B（-1，-1），C（6，k），其中k为常数．若|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角的余弦值为0或-$\frac{24}{25}$，．

19．某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利息为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（　　）

	A．	$\frac{a}{m}$		B．	$\frac{{ap{{（1+p）}^{m+1}}}}{{{{（1+p）}^{m+1}}-1}}$
	C．	$\frac{{ap{{（1+p）}^{m+1}}}}{{{p^m}-1}}$		D．	$\frac{{ap{{（1+p）}^m}}}{{{{（1+p）}^m}-1}}$

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且焦距为4$\sqrt{3}$
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，且△AOB的面积为4，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围．

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