Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m，直线l与椭圆相交于A，B两个不同点．

(1)求实数m的取值范围；

(2)证明：直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形．

Answer 1

解析：　(1)设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，

由题意得

∴椭圆方程为＝1.

由题意可得直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则点A，B的坐标是方程组的两组解，

消去y得x²＋2mx＋2m²－4＝0.

∵Δ＝4m²－4(2m²－4)＞0，∴－2＜m＜2.

又∵m≠0，∴实数m的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．

(2)证明：由题意可设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，

只需证明k₁＋k₂＝0即可，

由(1)得x²＋2mx＋2m²－4＝0，

∴x₁＋x₂＝－2m，x₁x₂＝2m²－4，

∴直线MA，MB与x轴围成的三角形是等腰三角形．