题目内容
【题目】已知倾斜角为的直线
过点
和点
,点
在第一象限,
.
(1)求的坐标;
(2)若直线与两平行直线
,
相交于
、
两点,且
,求实数
的值;
(3)记集合直线
经过点
且与坐标轴围成的面积为
,
,针对
的不同取值,讨论集合
中的元素个数.
【答案】(1);(2)
或23;(3)答案不唯一,见解析
【解析】
(1)先求出直线的方程,再根据方程设出
的坐标,利用
以及
在第一象限,可解得;
(2)解方程组得的坐标,根据两点间的距离可解得;
(3)设出直线的截距式方程
,代入
的坐标并根据面积公式可得
,再分2种情况去绝对值,利用判别式讨论一元二次方程的根的个数可得.
(1)因为倾斜角为的直线
过点
,
所以由点斜式得,即
,
因为直线过点
,所以设
,
所以,
因为,
所以,化简得
,解得
或
,
因为点在第一象限,所以
,
所以,
,
所以.
(2)联立, 解得
,所以
,
联立,解得
,所以
,
因为,所以
,
化简得,
解得或
.
(3)因为,所以可设直线
的截距式方程为
,
因为直线经过点
,所以
,
所以,
因为直线与坐标轴围成的面积为
,
所以即
,
所以或
,
当时,
,整理得
,
因为恒成立,所以一元二次方程
恒有两个非零实根,
当时,
,整理得
,
当,即
时,
无解,
当,即
时,
有且只有一个非零实根,
当,即
时,
有两个不相等的非零实根,
所以,当 时,直线
有两条,集合
有两个元素,
当时,直线
有三条, 集合
有三个元素,
当时,直线
有四条, 集合
有四个元素.
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