Question

16．定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”．给出以下问题：
①f（x）=x²+1在区间（-∞，+∞）上可被g（x）=x²+$\frac{1}{2}$替代；
②如果f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x-b替代，则-2≤b≤2；
③设f（x）=lg（ax²+x）（x∈D₁），g（x）=sinx（x∈D₂），则存在实数a（a≠0）及区间D₁，D₂，使得f（x）在区间D₁∩D₂上被g（x）替代．
其中真命题是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①
• D． ①②

Answer 1

分析 命题①直接由替代的定义得出为真命题；命题②根据替代的定义，|f（x）-g（x）|≤1在[1，e]上恒成立，根据导数判断函数lnx-x+b在[1，e]上的单调性，根据单调性即可求出函数lnx-x+b的值域，该值域应为区间[-1，1]的子集，从而可得出b的取值范围，从而判断该命题的正误；命题③可先找出一个D₁∩D₂区间，可以在此区间找到一个x使对任意a|f（x）-g（x）|＞1，从而便可判断出该命题错误，这样便可最后找出所有的真命题．

解答 解：在①中，∵f（x）=x²+1，g（x）=x²+$\frac{1}{2}$，
∴对任意x∈（-∞，+∞），都有|f（x）-g（x）|=|1-$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{2}$≤1成立，
∴f（x）=x²+1在区间（-∞，+∞）上可被g（x）=x²+$\frac{1}{2}$替代，故①正确；
在②中，由题意知：|f（x）-g（x）|=|lnx-x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；设h（x）=lnx-x+b，则h′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
∵x∈[1，e]，∴h′（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上单调递减，
h（1）=b-1，h（e）=1-e+b，
1-e+b≤h（x）≤b-1，又-1≤h（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-e+b≥-1}\\{b-1≤1}\end{array}\right.$，解得e-2≤b≤2，故②错误；
在③中，若a＞0，解ax²+x＞0，得x＜-$\frac{1}{a}$或x＞0，
可取D₁=（0，+∞），D₂=R，∴D₁∩D₂=（0，+∞），
可取x=π，则|f（x）-g（x）|=aπ²+π，
∴不存在实数a（a＞0），使得f（x）在区间D₁∩D₂ 上被g（x）替代；
若a＜0，解ax²+x＞0得，x＜0，或x＞-$\frac{1}{a}$，
∴可取D₁=（-∞，0），D₂=R，∴D₁∩D₂=（-∞，0），
取x=-π，则|f（-π）-g（-π）|=|aπ²-π|＞1，
∴不存在实数a（a＜0），使得f（x）在区间D₁∩D₂ 上被g（x）替代．
综上得，不存在实数a（a≠0），使得f（x）在区间D₁∩D₂ 上被g（x）替代，故③错误．
故选：C．

点评 考查对替代定义的理解，根据函数导数判断函数单调性、求函数在闭区间上最值的方法，以及根据对数的真数大于0求函数定义域的方法，解一元二次不等式，在说明f（x）不能被g（x）替代的举反例即可．