Question

四棱锥P-ABCD的直观图、主视图、侧视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）在直观图中，M是PC的中点，求证：DM∥平面PAB．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由三视图知PA⊥AB，AD∥BC，AB=2，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，BC=4，AD=2，得到PA⊥平面ABCD，利用四棱锥体积公式求之；
（Ⅱ）只要证明DM∥AN，利用线面平行的判定定理证明．

解答： 解：（Ⅰ） 由主视图和侧视图，知PA⊥AB，AD∥BC，AB=2；
平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，BC=4，AD=2．
∵PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PA⊥平面ABCD，从而PA=2．
易知底面ABCD为直角梯形，其面积为S底面ABCD=

1

2

×(4+2)×2=6．

所以V四棱锥P-ABCD=

1

3

S底面ABCD×PA=

1

3

×6×2=4．…（4分）
（Ⅱ）如图所示，取PB中点N，
连结 DM、MN、NA．
∵M、N分别为PC、PB的中点，
∴MN∥BC，且MN=

1

2

BC，
于是MN∥AD，且MN=AD，
则四边形ADMN为平行四边形，
∴DM∥AN，
又DM?平面PAB，AN?平面PAB，所以DM∥平面PAB．…（8分）

点评：本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积以及证明线面平行的判定定理的运用．