Question

【题目】已知函数，其中.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是，（2）（3）

【解析】

（1）化简得到，分别计算单调性得到答案.

（2）化简得到恒成立，计算函数的最大值得到答案.

（3）化简得到，确定在和上都各有个不同的零点，计算得到答案.

（1）当时，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递减.

当时，，

所以在上单调递增.

因为函数的图象在上不间断，

所以的单调减区间是，单调增区间是.

（2）对任意恒成立.

因为，，所以，

故不等式可化为，即，

所以问题转化为不等式对任意恒成立.

又在上单调递减，

所以，

所以.

（3），其中.

显然，当时，至多有个不同的零点，且当时，

至多有个不同的零点，

又有个不同的零点，

所以在和上都各有个不同的零点，

所以且即

又，解得，

所以实数的取值范围是.