Question

随机变量X的分布列如下表如示，若数列{p_n}是以p₁为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q（p₁，q）．现随机变量X∽Q（，2）．

X	1	2	…	n
P	p1	p2	…	pn

（Ⅰ）求n 的值并求随机变量X的数学期望EX；
（Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意得求出和的表达式进而解得n=6，所以可得X的分布列，求出随机变量X的期望，利用数列的有关知识求和即可得到答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中随机变量X的分布列可得随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率，进而根据独立重复试验的公式可得答案．
解答：解：（Ⅰ）依题意得，数列{p_n}是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以=1（1分）
解得n=6．（3分）
所以可得X的分布列为：

X	1	2	3	4	5	6
P

所以EX=
=（4分）
所以2EX=（5分）
两式相减得EX=（6分）
=，（7分）
所以随机变量X的数学期望EX．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中随机变量X的分布列可得：
随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率为++（10分）
所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为=（13分）
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的期望与方差，以及利用错位相减法求数列的和．