Question

将正奇数组成的数列{a_n}的项，1，3，5，7，9，11，…，按如表排成5列：

	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列
第一行		1	3	5	7
第二行	15	13	11	9
第三行		17	19	21	23
第四行	…	…	27	25

（Ⅰ）求第五行到第十行的所有数的和．
（Ⅱ）已知点A₁（a₁，b₁），A₂（a₂，b₂），…，A_n（a_n，b_n）在指数函数y=2^x的图象上，若S_n=a_n•b_n，求S₁+S₂+…+S_n的值T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n=2n-1．第五行的第一个数为a₁₇=33，第十行的最后一个数为a₄₀=79，由此能求出第五行到第十行的所有数的和．
（Ⅱ）由已知得bn=2an=2^2n-1，a_n=2n-1，S_n=a_nb_n=（2n-1）×2^2n-1，由此利用错位相减法能求出S₁+S₂+…+S_n的值T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}为等差数列，a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
第五行的第一个数为a₁₇=1+（17-1）×2=33，
第十行的最后一个数为a₄₀=1+（40-1）×2=79，
故第五行到第十行的所有数的和为：
33+35+…+79=

24×(33+79)

2

=1344．
（Ⅱ）∵点A₁（a₁，b₁），A₂（a₂，b₂），…，A_n（a_n，b_n）在指数函数y=2^x的图象上，
∴bn=2an=2^2n-1，
又∵a_n=2n-1，S_n=a_nb_n=（2n-1）×2^2n-1，
∴T_n=1×2+3×2³+…+（2n-1）×2^2n-1，①
4T_n=1×2³+3×2⁵+…+（2n-3）×2^2n-1+（2n-1）×2²ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-3T_n=2+2（2³+2⁵+…+2^2n-1）-（2n-1）×2²ⁿ⁺¹
=2×

2(1-4n)

1-4

-2-（2n-1）×2²ⁿ⁺¹
=（

10

3

-4n）•4ⁿ-

10

3

，
∴T_n=（

4n

3

-

10

9

）•4ⁿ+

10

9

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．