Question

已知椭圆C的中心为坐标原点，长轴长为4，一条准线方程为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求椭圆C被直线y=x+1截得的弦长；

（3）已知点A为椭圆的左顶点，过点A作斜率为的两条直线与椭圆分别交于点P,Q，若，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标.

Answer 1

，

【解析】（1） 长轴长为4，所以2a=4,a=2, 一条准线方程为,所以，所以椭圆的标准方程为 2

（2）联立直线与椭圆，设直线与椭圆的两个交点为AB

消掉y得，

6

（3）设直线PA斜率为k，∴PA方程为y=k（x+2）,代入椭圆方程解得：

8

10

当k≠±1时， 12

PQ方程为

令y=0解得，所以PQ过定点 14

当k≠±1，PQ过定点

综上，PQ过定点

考点：本题考查直线与椭圆的位置关系