Question

18．设x，y是正实数，记S为x，$y+\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$中的最小值，则S的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设a=x，b=$\frac{1}{y}$，c=y+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$都大于0．不妨设a≤b．可得$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{b}$-b≤c-a=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-a≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-a．即$\frac{2-{b}^{2}}{b}$≤c-a≤$\frac{2-{a}^{2}}{a}$．对a与$\sqrt{2}$的大小分类讨论即可得出最大值．

解答 解：设a=x，b=$\frac{1}{y}$，c=y+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{a}$．都大于0．
不妨设a≤b．则$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{b}$．
则$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{b}$-b≤c-a=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-a≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-a．
∴$\frac{2-{b}^{2}}{b}$≤c-a≤$\frac{2-{a}^{2}}{a}$，
①当a≥$\sqrt{2}$时，c≤a，此时c最小；
②当0＜a＜$\sqrt{2}$，c-a≥0，此时a最小，S≤$\sqrt{2}$．
综上可得：S的最大值为：$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了不等式的性质、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．