Question

【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.

（1）若的坐标为，求的值；

（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，证明： .

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：

（1）由题意可得抛物线的方程为，设切线的方程为，将其代入抛物线方程可得，根据判别式为零可得，验证可得。（2）由条件得以线段为直径的圆为圆，只考虑斜率为正数的直线，因为为直线与圆的切点，所以， ，故。又直线的方程为，将其代入抛物线方程由代数法可得弦长，从而可得结论成立。

试题解析：

（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，

所以抛物线的方程为.

设切线的方程为，

由消去整理得，

由得，

当时，可得的横坐标为，则，

当时，同理可得.

综上可得。

（2）由（1）知， ，

所以以线段为直径的圆为圆，

根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，

因为为直线与圆的切点，

所以， ，

所以，

所以，

所以直线的方程为，

由消去整理得，

因为直线与抛物线交于两点，

所以，

设，

则

所以，

所以。