题目内容
【题目】如图，在平行四边形
中， 
，分别过点
作直线
， 
垂直平面
，且
， 
.
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的正弦值.
【答案】（I）详见解析；（II）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）设
.以点
为原点， 
分别为
轴，过点
平行于
的直线为
轴，建立空间直角坐标系，通过证明
， 
，可得
平面
.
（II）由（Ⅰ）可求平面
的法向量和平面
的法向量，即可得二面角
的平面角的正弦值.
试题解析：
（Ⅰ）设
.
由
可知，平行四边形
为菱形，
∴
.则以点
为原点， 
分别为
轴，
过点
平行于
的直线为
轴，建立空间直角坐标系，
那么
， 
， 
， 
，
∵
， 
， 
，
易得
， 
，
∴
， 
，又
，
∴
平面
.
（II）由（Ⅰ）知， 
， 
， 
， 
，设
是平面
的一个法向量，则
， 
，取
，得
.
设
是平面
的一个法向量，则
， 
，取
，得
.
则
，
即得二面角
的平面角的正弦值为
.
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