Question

【题目】已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.

（3）设 ，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）11；（3）

【解析】试题分析：

（1）由题意得，递推作差，得，得到数列为等比数列，即可求解通项公式；

（2）原问题等价于（）恒成立，可分为奇数恒成立， 为偶数时，等价于恒成立，利用函数的单调性和最值，即可求解；

（3）由（1）得，判定出数列的单调性，求得的值，集合题意集合即可得出 的范围.

试题解析：

（1）由与的等差中项为得，①

当时， ②

①②得， ，有因为在①中令，得

是以，公比为的等比数列

数列的通项公式为

（2）原问题等价于（）恒成立.当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；当为偶数时，等价于恒成立，令， ，则等价于对恒成立， 故在上递增

故即故正整数的最大值为

（3）由 及

得，

当时， ；当时，

， ， ， ，

由集合恰有个元素，得