Question

（本小题满分12分）已知函数

（1）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；

（2）设函数在上有且只有一个零点，求的取值范围。（其中为自然对数的底数）

Answer 1

（1）直线的方程为 （2）a的取值范围是或

【解析】

试题分析：（1）先求函数的导数，再利用导数的几何意义求切线的斜率，从而确定切线的方程；（2）因为，注意到g（1）=0，所以，所求问题等价于函数在上没有零点.因此只要求出函数的导数，根据的取值计论函数在上的性质,以确定 取何值时，函数在上没有零点.

试题解析：【解析】
（1）设切点坐标为，则切线的斜率为

所以切线的方程为 2分

又切线过点（1，0），所以有

即 解得

所以直线的方程为 4分

（或：设，则

单增，单减

有唯一解，

所以直线的方程为 4分）

（2）因为，注意到g（1）=0

所以，所求问题等价于函数在上没有零点.

因为

所以由＜0＜00＜＜＞0＞

所以在上单调递减，在上单调递增. 6分

①当即时，在上单调递增，所以>

此时函数g（x）在上没有零点 7分

②当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.

又因为g（1）=0,g（e）=e-ae+a，在上的最小值为

所以，（i）当1＜a时，在上的最大值g（e）0，即此时函数g（x）在上有零点。 8分

（ii）当 ＜a＜2时， g（e）＜0，即此时函数g（x）在上没有零点. 10分

③当即时，在上单调递减，所以在上满足＜此时函数g（x）在上没有零点

综上，所求的a的取值范围是或＜a 12分

考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想.