Question

一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为（180

3

）°的扇形，用经过圆锥顶点的平面截圆锥，当截面面积最大时，求：
（1）最大截面面积．
（2）截面与底面所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）设过圆锥顶点的截面为VAB，过底面圆心O作OD⊥AB于D，并设OD=x（0≤x＜

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），求出截面面积的表达式，利用二次函数知识求出最大截面面积．
（2）由（1）得，OD⊥AB，VD⊥AB，所以，∠VDO就是二面角V-AB-O的平面角，在Rt△VDO中求出截面与底面所成锐二面角的大小．

解答：解：（1）由已知得，圆锥底面半径r=

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，h=1，如图，
设过圆锥顶点的截面为VAB，过底面圆心O作OD⊥AB于D，
并设OD=x（0≤x＜

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），
则VD=

1+x2

，DA=

3-x2

，所以截面VAB的面积
S=

(1+x2)(3-x2)

=

-(x2-1)2+4

，故当x=1时，S最大为2（5分）
（2）由（1）得，OD⊥AB，VD⊥AB，所以，∠VDO就是二面角V-AB-O的平面角，
即截面与底面所成锐二面角的平面角，由（1）知在Rt△VDO中，VO=OD=1，
所以∠VDO=45°．

点评：本题是中档题，通过转化求出截面面积表达式，利用函数的最值思想，求出最值是本题的难点；考查计算能力，转化思想，常考题型．