Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），圆O：x²+y²=r²（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．
（Ⅰ）当k=-$\frac{1}{2}$，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点到直线的距离公式求得d=$\frac{丨-2m丨}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=1，即可求得m的值，由点A，B都在坐标轴的正半轴上，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求得m²=r²（1+k²），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得a，b与r的关系．

解答 解：（Ⅰ）当k=-$\frac{1}{2}$，r=1时，则切线l：y=-$\frac{1}{2}$x+m，即2y+x-2m=0，
由圆心到l的距离d=$\frac{丨-2m丨}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=1，解得：m=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
点A，B都在坐标轴的正半轴上，则m＞0，
∴直线l：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴A（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），B（$\sqrt{5}$，0），
∴B为椭圆的右顶点，A为椭圆的上顶点，
则a=$\sqrt{5}$，b=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{4{y}^{2}}{5}=1$；
（Ⅱ）a，b，r满足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$成立，
理由如下：设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直线l与圆x²+y²=r²相切，
则$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，即m²=r²（1+k²），①
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
则x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}km}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}$，
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{b}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
AB为直径的圆经过坐标原点O，则∠AOB=90°，则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}{k}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{{（a}^{2}+{b}^{2}）{m}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=0，
则（a²+b²）m²=a²b²（1+k²），②
将①代入②，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．