题目内容
7.方程x3-3x2-a=0满足下列条件时,则a的值或范围.(1)恰有一个实根;
(2)有两个不等实根;
(3)三个不等实根;
(4)有没有可能无实根.
分析 方程x3-3x2-a=0即为a=x3-3x2,令f(x)=x3-3x2,求出导数,求得单调区间和极值,画出函数f(x)的图象,通过直线y=k与f(x)的图象的交点个数,即可得到k的取值时,实根的个数.
解答 解:方程x3-3x2-a=0即为
a=x3-3x2,
令f(x)=x3-3x2,f′(x)=3x2-6x,
由f′(x)>0,可得x>2或x<0;由f′(x)<0,可得0<x<2,
即f(x)的减区间为(0,2),增区间为(-∞,0),(2,+∞),
即有x=0处取得极大值0,x=2处取得极小值-4,
函数f(x)的图象如右:
(1)当a>0或a<-4时,方程恰有一个实根;
(2)当a=0或a=-4时,方程有两个不等的实根;
(3)当-4<a<0时,方程有三个不等实根;
(4)由x→+∞,f(x)→+∞;x→-∞,f(x)→-∞,
则方程至少有一个实根,不可能没有实根.
点评 本题考查函数和方程的转化思想的运用,考查数形结合的思想方法,属于中档题.
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