Question

12．求下列函数的定义域和值域：
（1）y=2${\;}^{\frac{1}{x+1}}$；
（2）y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+1}$；
（3）y=4^x+2^x+1+3．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的性质即可求函数的定义域，值域．
（2）根据指数函数的性质即可求函数的定义域，值域．
（3）根据指数函数和一元二次函数的性质即可求函数的定义域，值域．

解答 解：（1）要使函数有意义，在x+1≠0，即x≠-1，即函数的定义域为{x|x≠-1}，
设t=$\frac{1}{x+1}$，则t≠0，
则y=2^t≠1，即函数的值域为{y|y≠1}．
（2）函数的定义域为（-∞，+∞），
∵-（x-1）²+2≤2，
∴y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+1}$$≥（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$；
即函数的值域为[$\frac{1}{4}$，+∞）
（3）函数的定义域为（-∞，+∞），
y=4^x+2^x+1+3=（2^x）²+2•2^x+3=（2^x+1）²+2，
∵2^x＞0，
∴y=（2^x+1）²+2＞（0+1）²+2=3，
即函数的值域为（3，+∞）．

点评 本题主要考查函数性质的考查，根据指数函数的性质是解决本题的关键．